Il carico simmetrico

Nel corso degli ultimi anni molti lettori di AUDIOreview hanno maturato la capacità di progettare correttamente un mobile per diffusori acustici. Le tecniche su cui ci si è ormai specializzati sono la sospensione pneumatica ed i reflex, di cui si conoscono i pregi ed i difetti ed in cui si è assistiti da quegli efficaci programmi di calcolo automatico che sono i BASS.
Diversi lettori ci hanno sollecitato a confrontare le nozioni ormai consolidate con una ulteriore configurazione acustica, di formalizzazione più recente, particolarmente indicata a riprodurre le primissime ottave della banda audio.

 di Franco Sorino

Figura 1 – Schema generale di un altoparlante con carico simmetrico. In luogo del condotto di accordo si potrebbe impiegare un appropriato radiatore passivo.

Dando subito un’occhiata allo schema generale della fig. 1 si comprende come il woofer sia caricato da una parte in sospensione pneumatica e dall’altra in reflex. Risulta anche evidente come il compito di trasmettere l’energia sonora all’ambiente sia tutto a carico della porta reflex, sia essa un condotto pieno d’aria oppure un radiatore passivo.

Quindi non si tratta più di un sistema a «radiazione diretta»: la membrana dell’alto parlante non irradia nell’ambiente ma serve solo ad eccitare un tramite meccanico; in questo caso la porta di accordo. La concezione di questo sistema risale ai primi anni ’50 ma la prima formalizzazione matematica pubblicata si deve a L. Fincham, che se ne è anche servito nei suoi compiti di progettista presso la KEF. Basti ricordare i prestigiosi modelli di punta di questa casa: il 104 ed il 107 (rispettivamente provati con brillanti risultati in AUDIOreview nn. 31 e 53) ed il recentissimo C-95 (AR n. 80). Alla trattazione matematica, fornita da Fincham nel 1979 [1], si è, dopo qualche anno, affiancata quella di due
studiosi francesi: Augris e Santens [2]. In effetti meritano menzione anche le pregevoli realizzazioni del costruttore transalpino Elipson.

C’è da dire che, ili entrambi i casi, il raggiungi mento dei risultati, in termini di espressione matematica della risposta in frequenza, è un’opera che richiede un discreto impegno e dimestichezza con la materia. In questa sede ci poniamo innanzitutto l’obiettivo di analizzare qualitativamente il funzionamento di questa configurazione acustica, comprenderne i vantaggi ed i limiti, per fornire un insieme, il più possibile ridotto e di immediata consultazione, di relazioni matematiche che consentano un progetto con prevedibilità scientifica dei risultati.

Come funziona?

La comprensione qualitativa del comportamento del carico simmetrico può divenire immediata se richiamiamo dei concetti fondamentali sul funzionamento dei diffusori acustici alle frequenze più basse.

1. Un altoparlante può essere assimilato ad un filtro passa-alto del 2° ordine, univocamente determinato da due parametri, frequenza fs di risonanza in aria e fattore di merito totale Q_TS, che esprime la (sgradita) tendenza all’oscillazione. In corrispondenza ad fs la risposta (su pannello infinito) è ad un livello relativo di 20 • log10Q_TS dB. Al di sotto di fs si ha un calo di 12 dB/ottava.
2. II mobile in sospensione pneumatica, ideato per isolare la radiazione posteriore, ha anche l’effetto di rendere più rigida la sospensione. Infatti la reazione meccanica dell’aria contenuta nel box chiuso si aggiunge alla rigidità delle sospensioni della membrana. Il comportamento è sempre quello di un passa-alto del 2° ordine ma caratterizzato da una frequenza di risonanza f_c>f_S e da un fattore di merito totale in cassa Q_TC>Q_TS– L’entità dell’aumento dei valori dipende dal «rapporto di cedevolezza» α_c , comodamente espresso dal rapporto tra il V_AS dell’altoparlante ed il volume V_BC della cassa. Il mobile chiuso ha anche l’effetto di contenere l’escursione della membrana al di sotto di f_c.
3. L’emissione di un volume accordato, eccitato dall’interno, ha il comportamento di un risuonatore del 4° ordine complessivo (cioè determinato dal sovrapporsi di un passa-alto e di un passa-basso, entrambi del 2° ordine). Questo può essere caratterizzato da una frequenza di risonanza f_o e da due fattori di merito: «Q» e «q», legati alla larghezza di banda ed all’entità del ripple (ondulazione della risposta) in banda passante. Si è soliti considerare banda passante quella compresa tra due frequenze limite: inferiore f_L e superiore f_H, poste al livello 20log₁₀(q) dB. Per la simmetria vale: f_L·f_H = f_o².
4. La radiazione di un sistema bass-reflex è la somma vettoriale (modulo e fase) di quella del woofer montato in cassa e di quella della porta accordata, eccitata dalla radiazione posteriore del woofer. In prossimità della frequenza di risonanza f_B = f_O la membrana del woofer vede una grande «impedenza meccanica» che ne ostacola il movimento. Quindi l’escursione del cono diminuisce favorevolmente: a mettere in movimento l’aria ci pensa prevalentemente la risonanza della porta accordata. Oltre f_B la sovrapposizione acustica di woofer e porta reflex è costruttiva e il livello complessivo viene utilmente incrementato. I diversi «allineamenti» si realizzano scegliendo opportunamente la frequenza di accordo f_B (cioè il rapporto di accordo h=f_B/f_S) ed il volume del mobile (ossia il rapporto di cedevolezza α_R). Purtroppo al di sotto di fB lo sfasamento tra le radiazioni del woofer e della porta determina una reciproca cancellazione delle pressioni acustiche che rende molto ripida la pendenza del taglio: ben 24 dB/ottava. Cioè si ha un comportamento passa-alto del 4° ordine. Per giunta l’impedenza meccanica vista dalla membrana, alle frequenze inferiori a f_B, diminuisce di più che nel caso della cassa chiusa, col paradossale risultato di una escursione (e quindi distorsione) che cresce rapidamente al calare della frequenza e del livello della risposta, sotto f_B.

Figura 2 – Risposta di un sistema reflex B4 senza perdite (ideale). Con colori differenti sono riportate la componente dovuta alla radiazione diretta del diaframma dell’altoparlante (che si annulla alla risonanza) e quella dovuta alla sola porta di accordo.

Le singole componenti e la risposta complessiva di un sistema reflex ideale (senza perdite) e con allineamento Butterworth (h=l) sono rappresentate nel grafico di fig. 2. Si osservi come, al di sotto di f_B, la risposta del sistema reflex divenga subito peggiore di quella della porta di accordo ed anche di quella di una cassa chiusa caratterizzata da una f_C=f_B e Q_TC 0,707.

Se si è interessati proprio alla zona più bassa della banda audio, quella tipicamente riprodotta dai subwoofer, può essere desiderabile la risposta della sola porta di accordo di un
sistema reflex, in modo da avere alle bassissime frequenze contemporaneamente un comportamento passa-alto del solo 2° ordine anziché del 4° (come per la sospensione pneumatica), mantenendo una escursione del woofer fortemente ridotta alla risonanza (come nel reflex). Per isolare ed annullare la radiazione diretta di un reflex si possono utilizzare due accorgimenti: si può incanalare la faccia esterna del woofer in un condotto che scarichi fuori dalla finestra la radiazione indesiderata oppure costringerla a sfogarsi nell’angusta stretta di un mobile chiuso ermeticamente. Inutile dire che la seconda strada è molto più pratica, occorre solo tenere conto dei mutamenti apportati dal volume chiuso ai parametri del woofer. Davvero una complicazione da poco. Tra l’altro il volume chiuso «irrigidisce» l’equipaggio mobile, riducendone di molto l’escursione.

Con questo approccio sarebbe possibile produrre, con una notevole semplificazione concettuale, delle espressioni matematiche per la risposta in frequenza e per l’escursione. Basterebbe considerare un sistema reflex in cui tutti i parametri Thiele-Small del woofer siano quelli «corretti» dal mobile chiuso e nella cui risposta si sia isolata la componente acustica della sola porta di accordo, escludendo la radiazione diretta del woofer. Quindi tutte le conclusioni a cui arrivano Fincham, Augris e Santens, spesso con complicati funambolismi matematici, sono inconsapevolmente contenute in embrione nei soliti «testi sacri» [3], [4], [5], e [6] (di Beranek, Novak, Thiele e Small) e quindi, udite udite, nelle formule utilizzate nei programmi BASS.

Per completezza si può aggiungere che, per isolare il woofer, invece di un mobile sigillato, si potrebbe impiegare una seconda cavità accordata. Si realizzerebbe cosi un «reflex doppio». Ovviamente se si sceglie la stessa frequenza per entrambi i reflex si ha completa cancellazione del suono (data l’opposizione di fase dell’emissione delle due facce del diaframma). Con opportuni criteri di sovrapposizione delle risposte dei due reflex si riescono invece ad ottenere prestazioni molto interessanti in termini di efficienza di trasduzione e controllo dell’escursione del diaframma vibrante. Le cose si complicano un po’ ma, ottimizzando questa tecnica, la Bose ha ottenuto risultati eccezionali e di semplice realizzazione industriale: i sistemi professionali Acoustimass ed (in senso più lato) AcousicWave Cannon System. Il primo (AUDIOreview n. 68 pag. 44), di compattezza invidiabile, prevede due camere accordate a frequenze diverse, separate dalla membrana del woofer.
Nel secondo (n. 66 pag. 178) le camere accordate (a frequenze in rapporto 1:3) coincidono addirittura col grande tubo di accordo. La lunghezza del sistema è di circa 4 metri ma la semplicità realizzativa (altoparlante robustissimo ed elettronica di equalizzazione a parte) è sconcertante: in pratica un segmento di condotta idraulica da 12″ tagliata al punto giusto con un woofer.

Vantaggi e limiti

È evidente come il principale vantaggio-limite di un sistema passa-banda rispetto ai concorrenti a radiazione diretta sia l’eliminazione dalla risposta delle armoniche superiori, dovute alle distorsioni da non linearità.

Considerando però che solitamente si ricerca una larghezza di banda maggiore di una ottava si vede che la prima zona di funzionamento (la più esigente per escursione) non è molto protetta dai fattori di distorsione prevalenti: la 2HD e la 3HD. Più efficace è la filtratura dei break-up del cono e di altri rumori che rimangono imprigionati nel volume accordato. In questo senso un ulteriore aiuto si può ottenere con un reflex passivo (o con una porta reflex posizionata in modo da non raccogliere l’emissione diretta del woofer). Giova anche montare nella cavità accordata il lato magnete del woofer, in modo che i rumori indesiderati risultino in parte schermati. Inoltre (particolare trascurato nei testi specifici) questo accorgimento è indispensabile per mantenere (senza invertire la polarità del segnale) la coerenza di fase, tra tensione elettrica e pressione sonora, alle frequenze superiori alla risonanza. Un altro espediente è impiegare una coppia di altoparlanti in configurazione push-pull, che genera meno 2HD.

Dopo aver attenuato i «rumori» del woofer occorre non introdurne di nuovi, magari con le turbolenze di una porta di accordo sottodimensionata o con i fondo corsa di un  radiatore passivo insufficiente. C’è da considerare che la frequenza di risonanza di questi sistemi è, tipicamente, circa doppia rispetto ai reflex di pari f_-3dB e che la pressione acustica dipende tutta dal volume di aria che la porta è in grado di far oscillare: per contenere la velocità dell’aria nel condotto (o lo spostamento della membrana del passivo) occorre essere generosi nel dimensionare la porta. Facendo quattro calcoli si può considerare consigliabile una sezione del condotto pari ad almeno l/4 SD (quindi condotti circolari con Ø≥1/2D) o un radiatore passivo di diametro almeno pari al woofer. Per fortuna le frequenze di accordo, relativamente elevate, non costringeranno a mobili di dimensioni enormi, anzi ci si convince dopo qualche tentativo che le dimensioni di un sistema a carico simmetrico, che pur è composto da due mobili distinti, sono spesso più compatte di altre configurazioni che scendano alle stesse frequenze. Il motivo è ovviamente legato alla diminuita cedevolezza del sistema woofer-box (maggiori dettagli nella parte «teorica»).

Un altro vantaggio-limite è la possibilità, offerta dai passa-banda, di privilegiare la larghezza di banda o l’efficienza di trasferimento. Più il sistema sarà specializzato nel riprodurre una stretta banda intorno alla risonanza, più sarà in grado di riprodurla forte. Al progettista il compito di fissare il compromesso. Rispetto ad un reflex con stessa f_-3dB si ha una pendenza dimezzata dal taglio passa-alto e quindi una caduta più dolce delle bassissime frequenze. Inoltre l’escursione del cono nella zona di funzionamento reale (sopra f_-3dB) è inferiore. Ciò è dovuto al fatto che nei reflex la frequenza d’accordo (punto di minima escursione) fissa di fatto il limite inferiore di funzionamento utile mentre nel carico simmetrico l’accordo è tipicamente coincidente col centro banda, con almeno un’altra mezza ottava inferiore di funzionamento utile.

Relazioni matematiche

Gli autori che si sono occupati della formalizzazione matematica del carico simmetrico pongono la simmetria come ipotesi di partenza. Ciò vuoi dire che la frequenza di risonanza dell’altoparlante in cassa chiusa è posta pari alla frequenza di accordo reflex, a sua volta coincidente con la frequenza di risonanza del passa-banda: f_C=f_B=f_O.

In questo modo si rende «umano» il calcolo manuale ma si perde in generalità e le relazioni risultanti sono poco adatte al calcolo auto matico che ci prefiggiamo fin d’ora come fine. Fincham ed i due francesi hanno pubblicato due distinte equazioni generali che legano i principali parametri in gioco. Queste possono essere fuse in:

con

e V_BR = volume mobile reflex; V_BC = volume mobile chiuso. È semplice da queste ricavare

tenuto conto che per la cassa chiusa (in assenza di assorbente acustico) vale

La prima osservazione resa possibile è che, per avere una banda passante ampia, è consigliabile impiegare woofer con basso Q_TS. Siamo alle solite: per ottenere buone prestazioni occorrono buoni altoparlanti. E cosa vi aspettavate? Torna utile anche una f_S non troppo bassa, quindi diaframmi «leggeri», ed anche sospensioni rigide, per ridurre gli ingombri: certi modelli professionali (ad elevata efficienza) sembrano ottimali. Ma a quali costi!

Anche se il fattore di merito «q» è liberamente scelto dal progettista non è possibile eccedere col suo valore in quanto il suo aumento peggiora nettamente l’ondulazione (ripple)
della risposta in banda ed ai transitori. Anche il valore di Q_TC è scelto dal progettista ed anche il suo aumento provoca peggioramento della risposta ai transitori. I valori  consigliabili per q e Q_TC sono inferiori a 0,9. Dalla 5) si ottiene f_B=f_O=f_C = f_S • Q_TC/Q_TS ed inoltre

ed introducendo 6) e 4) in 2) si ottiene

La 6), la 7) e la 2) permettono di individuare V_BC e V_BR. Essendo (f_L•f_H) = f_o² , con alcuni passaggi matematici si arriva, per le frequenze limite, alle relazioni:

È possibile calcolare facilmente anche il livello ad f_o, relativo alla sensibilità nominale del l’altoparlante:

In base a tutte le relazioni precedenti è sufficiente una calcolatrice tascabile per calcolare in pochi minuti le principali caratteristiche di un progetto con carico simmetrico privo di perdite. In particolare si potrà tenere presente che α_T è proporzionale, direttamente, alla larghezza di banda ed, inversamente, al picco di sensibilità alla risonanza. I valori che α_T può assumere sono compresi tra 0 (volume chiuso infinitamente piccolo) e α_R (mobile chiuso infinitamente grande). Poiché

per volumi chiusi non troppo grandi (f_C ben maggiore di f_S) α_T indica approssimativamente anche il rapporto tra i volumi dei due mobili. Solitamente è compreso tra 0,3 e 3; più spesso ha valori prossimi ad 1.

Tabella A

Tabella B

Si è già detto della limitazione introdotta dall’ipotesi di simmetria, per cui è necessaria la coincidenza (tutta ideale…) tra f_C della cassa chiusa ed f_B della reflex. Una ulteriore gravissima limitazione del calcolo manuale è il presupposto di considerare un sistema accordato ideale, privo di perdite. In realtà (oltre all’inevitabile difetto di ermeticità del mobile [6]) è necessario smorzare le risonanze parassite della cavità con opportune quantità di assorbente acustico, posizionato con gli stessi criteri che competono al reflex. È evidente che le perdite introdotte dall’assorbente abbassano l’efficienza di trasduzione ed aumentano l’escursione del woofer (nel caso ideale, alla risonanza, l’escursione sarebbe ad dirittura nulla!).

Chi ha già un po’ d’esperienza coi programmi BASS può tenere conto di questi fenomeni considerando per la cassa chiusa i parametri corretti dalla presenza dell’assorbente acustico (diminuzione di f_C e Q_TC o aumento di V_BC). Per il mobile reflex si può considerare la fittizia espansione del volume dovuta all’assorbente sulle pareti ed il corrispondente calo del fattore di merito del mobile Q_B, indice dell’efficacia dell’accordo. Ovviamente è quanto mai fuori luogo provocare, con eccessivo assorbente acustico, un soffocamento del suono nella cavità risonante.

BASS

Si è detto che la curva di escursione, comprensiva di influenza del QB, è la stessa di un sistema reflex, di volume V_BR, in cui ai parametri del woofer siano state apportate le correzioni introdotte dal montaggio nella cassa chiusa di volume V_BC. Per ottenere la curva di risposta in frequenza occorre però escludere dal calcolo relativo al reflex la componente di radiazione diretta. A parte viene fatto un discorso più dettagliato a riguardo delle relazioni utilizzabili. Qui, in poche parole, diciamo che occorre aggiungere al programma BASS una nuova sezione di progetto, specializzata al carico simmetrico. Con le formule precedenti anche un intraprendente lettorecollaboratore, Sandro Lavagnini, ha preparato un’appendice al programma BASS-PC in grado di fornire i risultati desiderati.

In redazione stiamo mettendo a punto una versione più sofisticata da presentare quanto prima sulle pagine di AUDIOreview.
Cose molto importanti: col programma si può tener conto delle «perdite» dei mobili ed è anche possibile fissare un f_B diverso da f_C, cioè è possibile studiare un detuning (desintonizzazione) del sistema, che può avere utilità pratica (oltre che indubbia valenza didattica) per controllare gli effetti dei disallineamenti, voluti o indesiderati. Quindi si è in grado di modellare molto meglio il comportamento reale del carico simmetrico nella pratica totalità dei casi d’interesse.

Carico simmetrico, perdite e programmi BASS

Agli ormai innumerevoli utilizzatori dei programmi BASS è ben nota l’attuale divisione dei programmi in due sezioni di progettazione: CHIUSA o REFLEX, riferite al tipo di carico acustico che si intende fornire al woofer. In base a quanto esposto in precedenza è desiderabile un’ulteriore sezione, specializzata al calcolo della risposta ed escursione (ed eventualmente MOL limite) di un sistema con carico simmetrico. Simmetrico, o quasi: siamo infatti interessati anche ad analizzare gli effetti dei disallineamenti tra f_C ed f_B, in modo da avere più libertà di progetto e stimare le conseguenze degli errori inevitabilmente legati alla realizzazione pratica.

A tal fine è necessario sbirciare tra le relazioni matematiche che controllano i fenomeni in questione. Cercheremo la massima chiarezza e semplicità (per quanto consenta lo spigoloso mondo dell’aritmetica complessa) utilizzando per le formule la presentazione più leggibile (ed anche scrivibile!). Le relazioni principali, anziché incorporate nel testo tipografico, sono state raggruppate in tab. 1 e 2, per evitare eventuali errori di stampa.

L’intuizione

II livello di riferimento della risposta in frequenza è, come al solito, quello teorico, calcolabile a partire dai parametri dell’alto parlante:

Per l’andamento con la frequenza, Augris e Santens indicano che la «forma» della risposta in frequenza di un carico simmetrico è data dalla funzione di trasferimento di un filtro risonante, del 4° ordine complessivo con frequenza di risonanza f_o=f_B=f_C (quindi 2 zeri nell’origine e 4 poli coincidenti in f_o). Manipolando opportunamente le relazioni originali, utilizzando anche alcune formule indicate da Fincham, otteniamo la rel. A, dalla forma a noi più conveniente. Questa fornisce anche la variazione di sensibilità complessiva alla risonanza (livello l/α_T ad f_o, formula 11) Interpretando meglio la relazione pubblicata dai due francesi si può anche prevedere il comportamento per fB diverso da f_C e riscrivere la rel. A nella forma B. Il modulo di tale espressione complessa è pari al rapporto tra il modulo del numeratare ed il modulo del denominatore: rel. C. Con SQR() si indica la radice quadrata. L’utilità di questa forma, così poco compatta, si comprende meglio scrivendo la analoga espressione relativa al carico bass-reflex, pubblicata da Small [6] ed utilizzata nel tracciamento delle curve reflex dei programmi BASS. Queste curve hanno comportamento passa-alto del 4° ordine (4 zeri nell’origine e 4 poli). Passando direttamente all’espressione del modulo si ha la rel. D.
Si nota che i denominatori delle due ultime espressioni coincidono se si impone:

Le prime due imposizioni corrispondono a considerare le variazioni introdotte dal volume chiuso finito sui parametri del woofer. Si vede subito (formule 2 e 5) che per un carico simmetrico in cui il volume chiuso V_BC diventi sempre più grande, α_C tende a 0. Quindi f_C tende a f_S, Q_TC a Q_TS (dalla formula 5) e α_T a α_R (dalla formula 2). La sostituzione di α_R con α_T si ricava anche considerando che nella 2), relativa a α_R, occorrerebbe sostituire al V_AS il volume equivalente alla cedevolezza del sistema oscillante montato in cassa. Chiamiamo V_AC tale grandezza. V_AC è inversamente proporzionale alla rigidità complessiva della sospensione, in questo caso somma delle rigidità delle sospensioni della membrana e del volume d’aria nel box chiuso. Risulta 1/V_AC=(1/V_AS+1/V_BC) e, sostituendo V_AC al V_AS, con pochi passaggi, α_R si trasforma proprio in α_T.
L’ultima posizione è dovuta al fatto che l’analisi eseguita da Small è più raffinata di quelle ad opera di Fincham, Augris e Santens. Small tiene conto anche delle inevitabili perdite presenti nel sistema accordato, espresse dal termine Q_B. Da qui l’intuizione del nostro amico Sandro Lavagnini: perché non sfruttare l’espressione di Small anche per il carico simmetrico? Oltre ad avere il piccolo vantaggio di utilizzare una relazione già presente nei programmi BASS, si avrà anche modo di analizzare il funzionamento di sistemi «quasi simmetrici» (cioè con f_C diverso da f_B), ed addirittura la possibilità di considerare le perdite dovute alle imperfezioni del mobile!
Le perdite sono dovute alle fessurazioni del mobile (componente Q_L), all’assorbente acustico (Q_A) ed all’attrito nel condotto (Q_P). Si pone 1/Q_B=(1/Q_L+1/Q_A+1/Q_P).

In realtà Small tiene conto delle sole perdite per fessurazione ed, a rigore, nella sua formula il termine Q_B andrebbe sostituito da Q_U (come in effetti accade nei programmi BASS).
Questa approssimazione è accettabile poiché anche nei mobili più «ermetici» Q_L supera raramente il valore 10 mentre Q_A (se non si esagera con l’assorbente) assume valori ben superiori a 10. Se il condotto di accordo ha sezione adeguata e non contiene ostacoli al movimento dell’aria, Q_P ha valori ancora più elevati (oltre 50).

Per ottenere la relazione che ci interessa basta lasciare inalterato il denominatore dell’espressione D, utilizzata nella sezione REFLEX del BASS ed eliminare, al numeratare, il fattore (f/f_B)² lasciando solo (f/f_C)² (che ormai ha preso il posto di (f/f_S)². La relazione cercata ha quindi il numeratare della rel. C ed il denominatore della rel. D, con le sostituzioni 13). Riscriviamo per intero la relazione definitiva nella forma E.

In questa si osserva che il livello relativo, alla risonanza del simmetrico «vero» (f=f_B=f_C), si riduce a:

Questa sostituisce la formula 11, che ignora le perdite.

La verifica

La validità della fusione delle rel. C e D nella rel. E., ipotizzata da S. Lavagnini, è ora tutta da dimostrare. Purtroppo, per il reflex con perdite, sembrano irreperibili in letteratura delle espressioni matematiche separate per le pressioni acustiche generate dalla membrana e dalla porta d’accordo.

Non rimane altro che cercare da noi le espressioni desiderate, dopo esserci attrezzati di molta pazienza, volontà e di una buona giornata di tempo per i calcoli!

L’analisi parte dal circuito meccano-acustico equivalente (fig. 3), mediante il quale possia mo studiare il nostro sistema meccanico con le stesse regole dell’elettrotecnica. Analogamente alle impedenze elettriche (Z_E) avremo ora delle impedenze meccaniche (Z_M) ed acustiche (Z_A). In tutti i circuiti, elettrici meccanici ed acustici, valgono le leggi di Ohm e le loro duali meccano-acustiche:

elett.:

mecc.:

acust.:

Nei circuiti meccano-acustici le cedevolezze sono rappresentate con condensatori, le masse con induttori e gli attriti con resistori.

Quindi nella analogia meccano-elettrica la forza meccanica F ha il ruolo della tensione elettrica e la velocità «v» quello della corrente. Si passa dal circuito meccanico a quello acustico considerando che per la pressione «p», la velocità di volume U e le impedenze Z_A valgono le formule:

Nel nostro circuito acustico (figg. 3 e 4) il generatore fornisce al sistema la pressione p_g che, nei nostri calcoli, sarà proporzionale alla formula 12. Nel circuito di fig. 3 [6] sono contraddistinte diverse velocità di volume: U_D è quella della membrana dell’altoparlante; U_P quella della porta di accordo; U_P quella attraverso le fessure del mobile accordato. U_P e U_L hanno verso opposto ad U_D: quando la membrana si sposta «in fuori» l’aria esterna viene risucchiata attraverso le aperture del mobile, e viceversa. Nella fig. 4 si è diviso il sistema in blocchi.

Il sistema risonante Z_AC rappresenta il woofer, i cui parametri (R_ATO M_AC e C_ATC) sono quelli «modificati» dal montaggio nella cassa chiusa; abbiamo già visto che nel caso del carico simmetrico tali parametri sono ben diversi da quelli «in aria libera». Z_AB rappresenta il volume del mobile accordato: C_AB è la cedevolezza dell’aria contenuta ed R_AB è la resistenza fornita dall’assorbente acustico.

Figura 3 – Circuito acustico equivalente di un altoparlante montato in un mobile. I parametri dell’altoparlante si considerano già modificati dalla presenza della cassa chiusa a caricare una delle due facce. Si trascurano le perdite date dagli attriti nel condotto, rappresentate da RAP. Per i sistemi con radiatore passivo occorre considerare anche CAP. La somma di tutte le velocità di volume entranti nel nodo 1 deve essere nulla.

Figura 4 – Semplificando la rete di fig. 3 dividendola in blocchi è possibile eseguire un’analisi preliminare. ZAC è il sistema risonante del woofer (modificato dal la eventuale presenza della cassa chiusa, incorporata nel blocco); ZAB è il volume
accordato (dal comportamento passa-alto) e ZAA sono gli ostacoli all’aria contenuta nel mobile (attrito nelle fessurazioni e condotto di accordo passa-basso).

Z_AA è l’impedenza incontrata dall’aria nell’uscire dal volume accordato attraverso le fessure (con resistenza R_AL) e la porta di accordo (di massa M_AP e resistenza R_AP); nel caso del radiatore passivo dobbiamo mettere in conto anche una forza di richiama, da rappresentare con una capacità C_AP in serie e M_AP.

Poiché nel sistema non possono esserci accumuli d’aria la somma delle U entranti nel nodo 1 deve essere uguale alla somma delle U uscenti. Quindi U_O = U_D + (U_P + U_L ) = U_D + U_A è la velocità di volume complessivamente «uscente» da un sistema reflex. Noi invece cerchiamo proprio la componente U_A, quella uscente dalla porta e dalle fessure (radiazione indiretta), poiché confiniamo la U_D all’interno del mobile chiuso. Visto che siamo in vena di calcoli decidiamo di non trascurare la R_AB dell’assorbente acustico (ma, per quanto detto sopra, ignoriamo solo Rap): in tal modo i nostri risultati saranno addirittura più raffinati di quelli pubblicati da Small 17 anni fa. In effetti i potenti ed economici mezzi di calcolo disponibili oggi ci consentono di non temere le lunghe espressioni matematiche, le cui difficoltà residue sono solo quelle tipografiche.

L’impegnativo iter matematico è riassunto in tab. 2. Si conduce l’analisi nella variabile di Laplace s=j·2πf, mentre i risultati si esprimono comodamente in funzione della frequenza «f». Le rel. F, G ed H fissano la simbologia mentre le I, J e K esprimono U_D, U_O ed U_A secondo la struttura «a blocchi» di fig. 4. Si nota subito che le tre espressioni hanno lo stesso denominatore, quindi la rel. E, formulata intuitivamente, ha il denominatore corretto (ma non tiene conto di Q_A). Scrivendo le espressioni analitiche per l’impedenza dei tre blocchi (rel. L, M e N) e combinandole (rel. O, P e Q), si arriva a poter scrivere per intero il fattore comune alle tre espressioni (rel. R). Il modulo denominatore è dato dalla rel. S. Si osserva che per Q_A molto grande (cioè per R_AB trascurabile, come avviene in assenza di assorbente nel volume accordato):

e la rel. S diviene identica al denominatore della rel. E (quello dedotto dalla rel. D, di Small).

A questo punto il calcolo di U_O richiede solo pochi passaggi ed un piccolo trucco matematico: moltiplicare e dividere per sM_AC (il termine residuo a denominatore in realtà è già compreso nella 12, di passaggio dalla velocità di volume alla pressione acustica). Passando per la rel. U e ricordando la rel. K si ricava la tanto desiderata risposta del carico simmetrico (rel. V). Con riferimento alle rel. K e U, si vede che è anche possibile convertire la funzione di trasferimento W_R(f) (del reflex) in W_S(f) (del carico simmetrico) col semplice fattore correttivo Z_AB/Z_AA che, in modulo, vale:

II primo termine elimina (come già previsto in rel. E) due zeri nell’origine; quindi il comportamento passa-alto diviene del 2° ordine. Il secondo termine è stato trovato solo grazie all’analisi completa e permette di tener conto del Q_B non infinito. In pratica, per Q_A=infinito il secondo termine inserisce nel sistema uno zero a f_Z=f_BQ_L: per f>f_Z la pendenza del passa-basso si dimezza.

Sempre dalla 14) si vede che per Q_A non infinito (presenza di perdite per assorbimento) gli zeri aggiunti divengono due, ma a frequenza

quindi la risposta diviene piatta per f>f_Z, con figura di merito
Ho calcolato anche il caso con Q_P finito (presenza di perdite anche nel condotto) ma il risultato (simile al caso precedente) ha scarsa rilevanza.

In realtà, dati gli usuali valori di Q_L e Q_A, il secondo termine della 14) è sempre trascurabile nella banda di lavoro: ad esempio per f=2·f_B, con Q_L=5 e Q_A=infinito, l’effetto di questo termine è un incremento del livello di appena +0,64 dB. f_z cade ben al di fuori della banda di funzionamento e (se f_B non è troppo basso) in una zona in cui intervengono fenomeni più complessi che tolgono addirittura validità al modello. Si pensi, ad esempio, ai break-up del cono ed alle onde stazionarie all’interno dei due mobili. Quindi la rel. E, che non prevede la correzione 14), può essere applicata tranquillamente. Utilizzando come denominatore la rel. S si può tener conto anche di Q_A.

Se ancora non avete il mal di testa vi invito ad individuare (tenendo presente le rel. I, R ed S) anche la W_D(f) che fornisce il contributo della sola radiazione diretta alla risposta di un sistema reflex. È un buon esercizio…

Per ciò che riguarda l’andamento dell’impedenza elettrica di un sistema con carico simmetrico si può dire sommariamente che l’individuazione dell’espressione analitica per l’impedenza segue un percorso simile a quello impiegato per ricavare la curva di risposta, applicato però al circuito elettrico equivalente, che è possibile derivare (con opportuni criteri), dallo schema di fig. 3. Anche in questo caso il risultato sarà identico a quello di un reflex con i parametri del woofer modificati dalla presenza della cassa chiusa. Di conseguenza possono essere adattati ai sistemi con carico simmetrico tutti i metodi di misura (delle prestazioni e dei parametri) già validi per i sistemi reflex [7].

Franco Sorino

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
[1] L Fincham: A Bandpass Loudspeaker Enclosure; AES 63rd Convention, maggio 1979.
[2] P. Augris, D. Santens: Optimisation des enceintes a charge symetrique; L’Audiophile, n. 23, febbraio 1982.
[3] L. L. Beranek: Acoustics; McGraw-Hill Book; 1954.
[4] J. F. Novak: Performance of Enclosures for Low Resonance High Compliance Loudspeakers; JAES voi. 7, n. 1 gennaio 1959.
[5] A. N. Thiele: Loudspeakers in Vented Boxes, Part I & II; JAES voi. 19 nn. 5-6 maggio-giugno 1971.
[6] R. H. Small: Direct-Radiator Loudspeaker Systems Analysis; JAES voi. 20 n. 5 maggio 1972.
[7] R. H. Small: Vented Box Loudspeaker Systems; JAES voi. 21 nn. 6-10 giugno-ottobre 1973.
[8] P. Viappiani: Sistemi Particolari, Gruppo Editoriale Suono, 1988.

da AUDIOreview n. 81 marzo 1989